Der relativistische Quanten-Hall-Effekt

Dieser Effekt ist eine Variante des Quanten-Hall-Effekts, bei dem die Gravitation den Wert des Hall-Widerstandes leicht beeinflusst. Damit könnte die Gravitationskonstante gemessen werden.

Von Tilmann Schneider

Inhalt

1 Quanten-Hall-Effekt
2 Relativistischer Quanten-Hall-Effekt
3 Literatur
4 Impressum

1   Quanten-Hall-Effekt

Der Quanten-Hall-Effekt ermöglicht eine sehr genaue Widerstandsmessung, da hier der Hall-Widerstand nur von Naturkonstanten abhängt. Zur Herleitung gehen wir von einer elektrisch leitenden Platte aus, die die Dicke d, die Breite b und die Länge l besitzt. Die Platte wird der Länge nach von einem Strom Iy durchflossen. Senkrecht zur Platte liegt ein magnetisches Feld der Stärke Bz. Infolge dessen wird auf ein einzelnes Elektron die Lorentzkraft

KL=lBzIy/N

ausgeübt (N = Anzahl aller in der Platte vorhandenen Elektronen). Die sich am Rand aufstauenden bzw. fehlenden Elektronen verursachen ein elektrisches Feld EH, dessen Kraft

KH=-eEH       (1.1)

auf die Elektronen die Lorentzkraft kompensiert. Es ergibt sich für die Hall-Spannung

UH=bEH=-blBzIy/(Ne) .

Gilt für die Plattenabmessungen d<<l, d<<b, so liegt ein 2-dimensionales Elektronengas vor. Für die Zahl der Elektronen gilt

N=eblBzi/h,  i=1,2,3,...

(h = Plancksches Wirkungsquantum). Anschaulich kommt die Quantisierung dadurch zustande, dass die Elektronen infolge des starken Magnetfeldes Kreisbewegungen ausführen (Zyklotronresonanz). Quantenmechanisch sind entlang dieser Kreisbahnen nur stehende Wellen erlaubt.
Für die Hall-Spannung gilt dann

UH=-RHIy

mit dem Hall-Widerstand

RH=h/(ie2) .

2   Relativistischer Quanten-Hall-Effekt

Um den relativistischen Quanten-Hall-Effekt zu beschreiben, muss Gleichung (1.1) verallgemeinert werden. Für die kovariante Form der Kraft gilt mit dem elektromagnetischen Feldstärketensor Fµν:

Kµ=-eFµνuν

mit der Vier-Geschwindigkeit

(uν)=(u0,u1,u2,u3) .

Ferner gilt für die Lichtgeschwindigkeit:

c2=uνuν=gµνuµuν .

Um die Messung des Quanten-Hall-Effekts in einem Gravitationsfeld durchzuführen, wird von einem ruhenden Versuchsaufbau z.B. an der Erdoberfläche ausgegangen. Es ist dann

(uν)=(u0,0,0,0)

und

c2=g00(u0)2 .

Es folgt dann für uν:

(uν)=[c/(g00)1/2,0,0,0] .

Damit gilt

Kµ=-eFµ0u0

oder in Komponentenschreibweise analog zu (1.1):

KH=-eEH/(g00)1/2 .

Der Wert für g00 ergibt sich aus der Schwarzschild-Metrik

(gµν)= 1-rs/r000
0-1/(1-rs/r)00
00-r20
000-r2(sinθ)2

mit dem Schwarzschild-Radius

rs=2GM/c2 .

Daraus resultiert ein modifizierter Wert für RH:

R'H=RH(1-rs/r)1/2≈RH(1-GM/rc2) .

Für M und r sind dabei die Erdmasse bzw. der Erdradius einzusetzen. Daraus ergibt sich für GM/rc2 ein Wert von etwa 7·10-10. Gelänge es, die Messgenauigkeit des Quanten-Hall-Effektes auf wenigstens 10-12 zu steigern, könnte die Gravitationskonstante G bestimmt werden.

3   Literatur

Hermann Weyl, „Raum, Zeit, Materie“, 7. Auflage, Springer-Verlag, 1988
Torsten Fließbach, „Allgemeine Relativitätstheorie“, 2. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, 1995
Hajdu, Kramer, „Der Quanten-Hall-Effekt“, Phys. Bl., 41, (1985), 401-406

4   Impressum

Titel: Der relativistische Quanten-Hall-Effekt
Verfasser: Tilmann Schneider
URL: http://www.relativistische-asynchronmaschine.de
E-Mail: admin@relativistische-asynchronmaschine.de
Rev. 3.0, 14.11.2009
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